« Strona domowa   Plik do pobrania   niezal.pdf

Niezależność zdarzeń

Przykład zbioru n zdarzeń zależnych takich , że dowolny podzbiór n−1 elementowy tworzą zdarzenia niezależne.
Ustalmy liczbę całkowitą n ≥ 2. Niech Ω będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru
{1,2,3,..., n}, których dopełnienie ma nieparzystą liczbę elementów.
Oznaczmy przez Ai rodzinę tych podzbiorów, które zawierają liczbę i.

|Ω| = 2n−1,     |Ai| = 2n−2,    P(Ai) = 1/2.
Części wspólne k podzbiorów (k < n):
|Ai1Ai2Ai3 …Aik| = 2n−1−k,    i1 < i2 < i3 < … < ik,
ale
A1A2A3 …An = ∅.
Zakładając, że wszystkie zdarzenia elementarne (elementy Ω) są jednakowo prawdopodobne dla k < n otrzymujemy
P(Ai1Ai2Ai3 …Aik) = P(Ai1)P(Ai2)P(Ai3) …P(Aik),

i1 < i2 < i3 < … < ik.
Jednak
0=P(A1A2A3 …An) ≠ P(A1)P(A2)…P(An) = 2−n.
Zdarzenie A1,A2,A3... An nie są więc niezależne choć wszystkie 2n−n−1 równości z wyjątkiem jednej są spełnione.
Wyjaśnienie. Dla n ≥ 1 mamy
|Ω| =
n
1

+
n
3

+
n
5

+ … = (1+1)n−(1−1)n

2
= 2n−1
(spośród elementów różnych od i wybieramy nieparzystą liczbę elementów, których nie chcemy),
|Ai| =
n−1
1

+
n−1
3

+
n−1
5

+… = 2n−2.
Ogólniej dla k < n.
|Ai1Ai2Ai3 …Aik| =
n−k
1

+
n−k
3

+
n−k
5

+… = 2n−k−1.
Dla k=n nic nam nie pozostaje i wzór nie działa.



File translated from TEX by TTHgold, version 4.00.
On 30 Jul 2011, 20:11.